Question

2．已知函數f（x）=x³-3ax+$\frac{1}{4}$，若函數y=f（x）的極小值為0，則a的值為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． -$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 求導，分類當a≤0，無極值，a＞0，根據函數的單調性求得當x=$\sqrt{a}$時，取極小值，即f（$\sqrt{a}$）=a$\sqrt{a}$-3a$\sqrt{a}$+$\frac{1}{4}$=0，即可求得a的值．

解答 解：f（x）=x³-3ax+$\frac{1}{4}$，f′（x）=3x²-3a，
當a≤0，f′（x）≥0，恒成立，函數y=f（x）無極值，
當a＞0，令f′（x）=0，解得：x=$\sqrt{a}$，
當f′（x）＞0，解得x＞$\sqrt{a}$，
當f′（x）＜0，解得0＜x＜$\sqrt{a}$，
∴函數在（0，$\sqrt{a}$）單調遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）單調遞增，
∴x=$\sqrt{a}$時，取極小值，
∴f（$\sqrt{a}$）=a$\sqrt{a}$-3a$\sqrt{a}$+$\frac{1}{4}$=0，解得：a=$\frac{1}{4}$，
故選：A．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性及極值，考查運算能力，屬于基礎題．