Question

14．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的射線，分別與拋物線相交于點(diǎn)M，N，過弦MN的中點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線PQ，垂足為Q，則$\frac{{|{PQ}|}}{{|{MN}|}}$的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)|MF|=a，|NF|=b，由拋物線定義，2|PQ|=a+b．再由勾股定理可得|MN|²=a²+b²，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得|MN|的范圍，即可得到答案．

解答 解：設(shè)|MF|=a，|NF|=b．
由拋物線定義，結(jié)合梯形中位線定理可得2|PQ|=a+b，
由勾股定理得，|MN|²=a²+b²配方得，
|MN|²=（a+b）²-2ab，
又ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-2$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，
得到|MN|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）．
∴$\frac{{|{PQ}|}}{{|{MN}|}}$≤$\frac{\frac{1}{2}（a+b）}{\frac{\sqrt{2}}{2}（a+b）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{{|{PQ}|}}{{|{MN}|}}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選C．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線的應(yīng)用和解三角形的應(yīng)用，考查基本不等式，考查了計(jì)算能力、分析問題和解決問題的能力．