Question

1．已知拋物線$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t為參數），過其焦點F的直線l與拋物線分別交于A、B兩點（A在第一象限內），|AF|=3|FB|，過AB的中點且垂于l的直線與x軸交于點G，則△ABG的面積為$\frac{32\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 拋物線$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數化為：y²=4x．設直線l的方程為：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線方程聯(lián)立化為：k²x²-（4+2k²）x+k²=0，利用根與系數的關系及其中點坐標公式可得線段AB的中點M$（1+\frac{2}{{k}^{2}}，\frac{2}{k}）$．由|AF|=3|FB|，可得$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，與根與系數的關系聯(lián)立可得：k²=3，取k=$\sqrt{3}$．M$（\frac{5}{3}，\frac{2}{\sqrt{3}}）$，過AB的中點且垂于l的直線方程為：y-$\frac{2}{\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$（x-$\frac{5}{3}$），可得G$（\frac{11}{3}，0）$，求出點G到直線l的距離d．|AB|=$2\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$可得△ABG的面積S=$\frac{1}{2}$•d•|AB|．

解答 解：拋物線$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數化為：y²=4x．
設直線l的方程為：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=$2+\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，（*）
可得線段AB的中點M$（1+\frac{2}{{k}^{2}}，\frac{2}{k}）$．
∵|AF|=3|FB|，∴$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，
∴1-x₁=3（x₂-1），
與（*）聯(lián)立可得：k²=3，取k=$\sqrt{3}$．
∴M$（\frac{5}{3}，\frac{2}{\sqrt{3}}）$，
∴過AB的中點且垂于l的直線方程為：y-$\frac{2}{\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$（x-$\frac{5}{3}$），
令y=0，可得G$（\frac{11}{3}，0）$，
∴點G到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}×\frac{11}{3}-0-\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
|AB|=$2\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$2\sqrt{（2+\frac{4}{3}）^{2}-4}$=$\frac{16}{3}$．
∴△ABG的面積S=$\frac{1}{2}$•d•|AB|=$\frac{1}{2}×$$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{16}{3}$=$\frac{32\sqrt{3}}{9}$．
故答案為：$\frac{32\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題考查了拋物線的參數方程、直線與拋物線相交弦長問題、點到直線的距離公式、一元二次方程的根與系數的關系、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．