Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，側面PAD是邊長為2的等邊三角形，且與底面ABCD垂直，E為PA的中點．
（1）求證：DE∥平面PBC；
（2）求PB與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PB中點F，連EF，CF，通過證明四邊形DEFC是平行四邊形得出DE∥CF，故而DE∥平面PBC；
（2）取AD的中點O，連BO，則PO⊥平面ABCD，故而∠PBO為所求的線面角，利用勾股定理計算PB，OP即可得出sin∠PBO．

解答 （1）證明：取PB中點F，連EF，CF，
∵E是PA的中點，F是PB的中點，
∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，
∵CD∥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴EF∥CD，EF=CD，
∴四邊形DEFC為平行四邊形，
∴DE∥CF，又DE?平面PBC，CF?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．
（2）解：取AD的中點O，連BO，
∵側面PAD是邊長為2的等邊三角形，
∴PO⊥AD，
又∵側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥底面ABCD，
∴∠PBO就是PB與平面ABCD所成角，
∵在直角△PBO中，$PO=\sqrt{3}$，$BO=\sqrt{17}$，$PB=2\sqrt{5}$，
∴sin∠PBO=$\frac{PO}{PB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面角的計算，屬于中檔題．