Question

18．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≤1}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，若z=a（4x+2y）+b（a＞0，b＞0）的最大值為7，則$\frac{6}{a}$+$\frac{1}$的最小值為7．

Answer 1

分析 由x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≤1}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，畫出可行域：利用圖象可知：當(dāng)z=a（4x+2y）+b直線過（2，-1）時(shí)，z取得最大值7．得到6a+b=7．再利用基本不等式即可得出答案．

解答 解：由x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≤1}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，畫出可行域：

∵a＞0，b＞0，z=a（4x+2y）+b，
∴y=-2x+$\frac{z-b}{2a}$，其斜率-2＜0，在y軸上的截距為$\frac{z-b}{2a}$，
由圖象可知：當(dāng)此直線過點(diǎn)（2，-1）時(shí)，z=a（4x+2y）+b取得最大值7．
即6a+b=7．
∴$\frac{6}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{7}$（$\frac{6}{a}$+$\frac{1}$）（6a+b）=$\frac{1}{7}$（37+$\frac{6b}{a}$+$\frac{6a}$）≥$\frac{1}{7}$（37+2$\sqrt{\frac{6b}{a}•\frac{6a}}$）=7，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{6}{a}$+$\frac{1}$的最小值為7．
故答案為：7

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)與基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．