Question

8．設(shè)S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項和，已知S₃=6，a₄=4．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=3${\;}^{{a}_{n+1}}$-3${\;}^{{a}_{n}}$，求證：$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得到關(guān)于首項和公差的方程組，解得即可，
（2）先判斷出{$\frac{1}{_{n}}$}是等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式和放縮法即可證明．

解答 解：（1）設(shè)公差為d，則$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{3}=3{a}_{1}+3d=6}\\{{a}_{4}={a}_{1}+3d=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n=n．
（2）證明：∵b_n=3${\;}^{{a}_{n+1}}$-3${\;}^{{a}_{n}}$=3ⁿ⁺¹-3ⁿ=2•3ⁿ，
∴$\frac{_{n}}{_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴{$\frac{1}{_{n}}$}是等比數(shù)列．
∵$\frac{1}{_{1}}$=$\frac{1}{6}$，q=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{\frac{1}{6}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＜$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查等差數(shù)列等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法，和放縮法，考查運算能力，屬于中檔題．