Question

已知以點C（t，

2

t

） （t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點．
（1）求證：△AOB的面積為定值；
（2）設直線2x+y-4=0與圓C交于點M、N，若OM=ON，求圓C的方程．

Answer 1

考點：圓的標準方程,三角形的面積公式

專題：直線與圓

分析：（1）設出圓C的方程，求得A、B的坐標，再根據S_△AOB=

1

2

OA•OB，計算可得結論． 
（2）設MN的中點為H，則CH⊥MN，根據C、H、O三點共線，K_MN=-2，由直線OC的斜率k=

2 t

t

=

2

t2

=

1

2

，求得t的值，可得所求的圓C的方程．

解答： 解：（1）證明：由題設知，圓C的方程為（x-t）²+（y-

2

t

）²=t²+

4

t2

，
化簡得x²-2tx+y²-

4

t

y=0．
當y=0時，x=0或2t，則A（2t，0）；
當x=0時，y=0或

4

t

，則B(0，

4

t

)，
∴S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

|2t|•|

4

t

|=4為定值．  
（2）解∵OM=ON，則原點O在MN的中垂線上，設MN的中點為H，則CH⊥MN，
∴C、H、O三點共線，K_MN=-2，則直線OC的斜率k=

2 t

t

=

2

t2

=

1

2

，
∴t=2或t=-2．
∴圓心為C（2，1）或C（-2，-1），
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5或（x+2）²+（y+1）²=5．
由于當圓方程為（x+2）²+（y+1）²=5時，直線2x+y-4=0到圓心的距離d＞r，
此時不滿足直線與圓相交，故舍去，
∴所求的圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．

點評：本題主要考查求圓的標準方程，兩條直線垂直的性質，屬于中檔題．