Question

16．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-1，0）、B（1，0）、C（0，-1），N為y軸上的點，MN垂直于y軸，且點M滿足$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{ON}•\overrightarrow{CM}$（O為坐標原點），點M的軌跡為曲線T．
（Ⅰ）求曲線T的方程；
（Ⅱ）設點P（P不在y軸上）是曲線T上任意一點，曲線T在點P處的切線l與直線$y=-\frac{5}{4}$交于點Q，試探究以PQ為直徑的圓是否過一定點？若過定點，求出該定點的坐標，若不過定點，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設點M（x，y），依題意知N（0，y），利用$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{ON}•\overrightarrow{CM}$得x²-1+y²=y（y+1），即可求曲線T的方程；
（Ⅱ）求出點Q的坐標為$（\frac{4x_0^2-1}{{8{x_0}}}，-\frac{5}{4}）$，假設以PQ為直徑的圓恒過定點H，則根據對稱性，點H必在y軸上，設H（0，t），則由$\overrightarrow{PH}•\overrightarrow{QH}=0$得結論．

解答 解：（Ⅰ）設點M（x，y），依題意知N（0，y），
∵$\overrightarrow{AM}=（x+1，y），\overrightarrow{BM}=（x-1，y），\overrightarrow{ON}=（0，y），\overrightarrow{CM}=（x，y+1）$，---------------------------（2分）
由$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{ON}•\overrightarrow{CM}$得x²-1+y²=y（y+1），即y=x²-1，
∴所求曲線T的方程為y=x²-1-------------------（4分）
（Ⅱ）設P（x₀，y₀）（x₀≠0），由y=x²-1，得y'=2x
則${k_l}=y'{|_{x={x_0}}}=2{x_0}$------------------------------------------------------------------------------------------（5分）
∴直線l的方程為：y-y₀=2x₀（x-x₀）
令$y=-\frac{5}{4}$得$x=\frac{4x_0^2-1}{{8{x_0}}}$，即點Q的坐標為$（\frac{4x_0^2-1}{{8{x_0}}}，-\frac{5}{4}）$------------------------------------------（6分）
假設以PQ為直徑的圓恒過定點H，則根據對稱性，點H必在y軸上，設H（0，t），
則由$\overrightarrow{PH}•\overrightarrow{QH}=0$得${x_0}•\frac{4x_0^2-1}{{8{x_0}}}+（t-{y_0}）（t+\frac{5}{4}）=0$------①--------------------------------------（8分）$\frac{1}{2}{y_0}+\frac{3}{8}+t（t+\frac{5}{4}）-{y_0}（t+\frac{5}{4}）=0$，$（t+\frac{3}{4}）（t+\frac{1}{2}-{y_0}）=0$，
∴$t=-\frac{3}{4}$，即以PQ為直徑的圓恒過定點，該點的坐標為$（0，-\frac{3}{4}）$--------------------------（12分）】

點評 本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．