Question

4．已知函數(shù)f（x）=a|x-1|+|x-a|（a＞0）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）≤4；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）在（-∞，1]上遞減，在[1，+∞）上遞增，f（0）=f（$\frac{8}{3}$）=4利用解不等式f（x）≤4；
（2）若f（x）≥1，分類討論，即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=2|x-1|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+4，x＜1}\\{x，1≤x≤2}\\{3x-4，x＞2}\end{array}\right.$
所以，f（x）在（-∞，1]上遞減，在[1，+∞）上遞增，
又f（0）=f（$\frac{8}{3}$）=4，故f（x）≤4的解集為{x|0≤x≤$\frac{8}{3}$}．…（4分）
（2）①若a＞1，f（x）=（a-1）|x-1|+|x-1|+|x-a|≥a-1，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，取等號(hào)，故只需a-1≥1，得a≥2．…（6分）
②若a=1，f（x）=2|x-1|，f（1）=0＜1，不合題意．…（7分）
③若0＜a＜1，f（x）=a|x-1|+a|x-a|+（1-a）|x-a|≥a（1-a），
當(dāng)且僅當(dāng)x=a時(shí)，取等號(hào)，故只需a（1-a）≥1，這與0＜a＜1矛盾．…（9分）
綜上所述，a的取值范圍是[2，+∞）．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．