Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+lnx，a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與直線y=3x+b在x=1處相切，求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若a=0時，函數(shù)h（x）=f（x）+bx有兩個不同的零點(diǎn)，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出k，b的值，
（Ⅱ）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系即可求出．
（Ⅲ）當(dāng)a=0時，若函數(shù)h（x）有兩個不同的零點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合即可求b的取值范圍；

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+lnx，x＞0，
∴f′（x）=ax+$\frac{1}{x}$，
∵曲線y=f（x）與直線y=3x+b在x=1處相切，
∴f′（1）=a+1=3，
∴a=2，
∴f（1）=1+ln1=1，
∴1=3+b，
∴b=-2，
（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=ax+$\frac{1}{x}$，
當(dāng)a≥0時，f′（x）=ax+$\frac{1}{x}$＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＜0時，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{\frac{1}{-a}}$=$\frac{\sqrt{-a}}{-a}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{\sqrt{-a}}{-a}$）時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（$\frac{\sqrt{-a}}{-a}$，+∞）時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
（Ⅲ）a=0時，函數(shù)h（x）=f（x）+bx=lnx+bx
令m（x）=lnx，n（x）=-bx，
要使得h（x）有兩個零點(diǎn)，即使得m（x）和n（x）圖象有兩個交點(diǎn)（如圖），
容易求得m（x）和n（x）的切點(diǎn)為（e，1），
∴0＜-b＜$\frac{1}{e}$，即-$\frac{1}{e}$＜b＜0．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查考生的應(yīng)用，運(yùn)算量大，綜合性較強(qiáng)，屬于難題