Question

10．已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=2^x-2x${\;}^{\frac{1}{2}}$，又a是函數(shù)g（x）=ln（x+1）-$\frac{2}{x}$的零點，則f（-2），f（a），f（1.5）的大小關系是f（1.5）＜f（a）＜f（-2）．

Answer 1

分析 當a＞0時，根據(jù)函數(shù)單調性g（2）=ln3-1＞0，g（1.5）=ln2.5-$\frac{4}{3}$＜lne-1=0，根據(jù)零點定理在區(qū)間（1.5，2）內g（x）存在零點，可得1.5＜a＜2，x≥0時，求導，根據(jù)函數(shù)單調性f（1.5）＜f（a）＜f（2），根據(jù)函數(shù)的奇偶性可知f（1.5）＜f（a）＜f（-2）．

解答 解：當a＞0時，易知g（x）為增函數(shù)，而且g（2）=ln3-1＞0，g（1.5）=ln2.5-$\frac{4}{3}$＜lne-1=0，
由零點存在定理可知在區(qū)間（1.5，2）內g（x）存在零點，
再由單調性結合題意可知a就為這個零點，
因此有1.5＜a＜2．
當x≥0時，求導即得：f′（x）2^xlnx-$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
當x＞1時，f'（x）＞2ln2-1=ln2²-1＞lne-1=0，
由此可見f（x）在（1，+∞）上單調增，
∴f（1.5）＜f（a）＜f（2），
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（1.5）＜f（a）＜f（-2）．
故答案為：f（1.5）＜f（a）＜f（-2）．

點評 本題考查的是函數(shù)的單調性與奇偶性的綜合類問題．考查零點定理、導數(shù)知識的靈活應用．考查數(shù)形結合的思想、轉化的思想，屬于中檔題．