15．已知直線l：y=x+m，圓O：x2+y2-4=0，圓C：x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0（0＜a≤4）．
（1）若a=3，圓O與圓C交于M，N兩點，試求線段|MN|的長．
（2）直線 l與圓C相切，且直線l在圓C心的下方，當0＜a≤4時，求m的取值范圍．

分析 （1）由方程x2+y2-4=0與x2+y2+6x-6y+6=0消去二次項得，3x-3y+5=0，再求得圓心O到直線3x-3y+5=0的距離，由圓弦長、圓心距和圓的半徑之間關(guān)系得線段|MN|的長；
（2）由直線l與圓C相切，建立m與a的關(guān)系$\frac{{|{m-2a}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{a}$，再由點C在直線l的上方，去掉絕對值，將m轉(zhuǎn)化為關(guān)于a二次函數(shù)求解．

解答 解：（1）當a=3時，C：x2+y2+6x-6y+6=0，由方程x2+y2-4=0與x2+y2+6x-6y+6=0消去二次項得，3x-3y+5=0，圓心O到直線3x-3y+5=0的距離為$d=\frac{{|{0-0+5}|}}{{\sqrt{9+9}}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{6}$，∴$|{MN}|=2\sqrt{4-\frac{25}{18}}=\frac{{\sqrt{94}}}{3}$．
（2）∵x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0，∴（x+a）2+（y-a）2=4a，∴圓心C（-a，a），半徑$r=2\sqrt{a}$，
圓心C（-a，a）到直線l的距離為$d=\frac{{|{-a-a+m}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{m-2a}|}}{{\sqrt{2}}}$，
∵直線l與圓C2相切，∴d=r，即$\frac{{|{m-2a}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{a}$，∴$m=2a±2\sqrt{2a}$，
∵直線l在圓心C的下方，∴$m=2a-2\sqrt{2a}={（{\sqrt{2a}-1}）^2}-1$，∵0＜a≤4，
∴$m∈[{-1，8-4\sqrt{2}}]$．

點評 本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系及其方程的應(yīng)用，主要涉及了直線與圓相交，由圓心距，半徑和圓的弦長構(gòu)成的直角三角形．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

5．如圖，幾何體ABC-C1B1的底面ABC為等邊三角形，側(cè)面BB1C1C為矩形，B1B⊥平面ABC，E為邊AB1的中點，D在邊BC上移動．
（1）若D為邊BC的中點，求證：BE∥平面ADC1；
（2）若AB=BB1=2，記l為平面BEC與平面ADC1的交線，試確定點D的位置，使得直線l與平面ACC1所成的角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

6．已知數(shù)列{an}滿足下列公式，寫出它們的前5項：
（1）an=（-1）n（n2+1），
（2）a1=1，an=1+$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}$（n＞1）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

3．在正四棱錐P-ABCD中，O為正方形ABCD的中心，$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{EO}$（2≤λ≤4），且平面ABE與直線PD交于F，$\overrightarrow{PF}$=f（λ）$\overrightarrow{PD}$，則（　　）
A．f（λ）=$\frac{λ}{λ+2}$B．f（λ）=$\frac{2λ}{λ+6}$C．f（λ）=$\frac{3λ}{λ+7}$D．f（λ）=$\frac{4λ}{λ+9}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．某公司為確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年利潤y（單位：萬元）的影響，對近5年的宣傳費xi和年利潤yi（i=1，2，3，4，5）進行了統(tǒng)計，列出了下表：
x（單位：千元）2471730
y（單位：萬元）12345
員工小王和小李分別提供了不同的方案．
（1）小王準備用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請你建立y關(guān)于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；
（2）小李決定選擇對數(shù)回歸模擬擬合y與x的關(guān)系，得到了回歸方程：$\widehat{y}$=1.450lnx+0.024，并提供了相關(guān)指數(shù)R2=0.995，請用相關(guān)指數(shù)說明選擇哪個模型更合適，并預(yù)測年宣傳費為4萬元的年利潤（精確到0.01）（小王也提供了他的分析數(shù)據(jù)$\sum_{i=1}^{5}$（yi-$\widehat{y}$i）2=1.15）
參考公式：相關(guān)指數(shù)R2=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-{\widehat{y}}_{i}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$
回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為$\widehat$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat$x，參考數(shù)據(jù)：ln40=3.688，${\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\overline x）}^2}$=538．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．如圖所示，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=$\frac{π}{3}$，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B′-ACD，M為B′C的中點，DM=2$\sqrt{2}$．
（1）求證：OM∥平面AB′D；
（2）求三棱錐B′-DOM的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

7．已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+3．
（1）若f（1）=2，求實數(shù)a的值；
（2）當x∈R時，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．已知函數(shù)$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{3}}）$．
（1）若$x∈（{-\frac{π}{6}，0}]$，求$4f（x）+\frac{1}{f（x）}$的最小值，并確定此時x的值；
（2）若$a∈（{-\frac{π}{2}，0}），f（{\frac{a}{2}+\frac{π}{3}}）=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，求f（a）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

5．設(shè)集合U={x|x2-3x+2=0，x∈R}，則集合U的子集的個數(shù)是4．

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