Question

20．如圖所示，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠BAD=$\frac{π}{3}$，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，得到三棱錐B′-ACD，M為B′C的中點(diǎn)，DM=2$\sqrt{2}$．
（1）求證：OM∥平面AB′D；
（2）求三棱錐B′-DOM的體積．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線定理，證出OM∥AB′，結(jié)合線面平行判定定理，即可證出OM∥平面AB′D；
（2）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，算出DO=$\frac{1}{2}$B′D=2，OM=$\frac{1}{2}$AB′=2，從而得到OD²+OM²=8=DM²，可得OD⊥OM．結(jié)合OD⊥AC利用線面垂直的判定定理，證出OD⊥平面AB′M，得到OD為三棱錐D-B′OM的高．算出△B′OM的面積，利用錐體體積公式算出三棱錐D-B′OM的體積，即可得到三棱錐B′-DOM的體積．

解答 解：（1）∵O為AC的中點(diǎn)，M為B′C的中點(diǎn)，∴OM∥AB′．
又∵OM?平面AB′D，AB′?平面AB′D，
∴OM∥平面AB′D．
（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱錐B′-ACD中，OD⊥AC．
在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．
∵O為BD的中點(diǎn)，∴DO=$\frac{1}{2}$BD=2．
∵O為AC的中點(diǎn)，M為B′C的中點(diǎn)，∴OM=$\frac{1}{2}$AB′=2．
因此，OD²+OM²=8=DM²，可得OD⊥OM．
∵AC、OM是平面AB′C內(nèi)的相交直線，
∴OD⊥平面AB′M．即OD是三棱錐D-B′OM的高．
由OD=2，S_△B′OM=$\frac{1}{2}$×OB′×B′M×sin60°=$\sqrt{3}$，
∴V_B′-DOM=V_D-B′OM=$\frac{1}{3}$S_△B′OM×DO=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出平面折疊問(wèn)題，求證線面平行、面面垂直并求三棱錐的體積，著重考查了線面平行判定定理、線面垂直與面面垂直的判定和錐體的體積求法等知識(shí)，屬于中檔題．