Question

5．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)A（0，1），B（0，-1），C（1，0），點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=k|\overrightarrow{PC}{|^2}$．
（1）若k=2，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）當(dāng)k=0時(shí)，若$|λ\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}{|_{max}}=4$，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)P（x，y），求出$\overrightarrow{AP}$=（x，y-1），$\overrightarrow{BP}$=（x，y+1），$\overrightarrow{PC}$=（x-1，y）．通過(guò)k=2，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=2|\overrightarrow{PC}{|^2}$，化簡(jiǎn)求解點(diǎn)P的軌跡方程即可．
（II）通過(guò)k=0，推出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=0$，得到x²+y²=1．化簡(jiǎn)|λ$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|²=（2-2λ²） y+2λ²+2（y∈[-1，1]）．然后求解表達(dá)式的最值即可．

解答 （本題滿分15分）
解：（I）設(shè)P（x，y），則$\overrightarrow{AP}$=（x，y-1），$\overrightarrow{BP}$=（x，y+1），$\overrightarrow{PC}$=（x-1，y）．
因?yàn)閗=2，所以 $\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=2|\overrightarrow{PC}{|^2}$，
所以 （x，y-1）?（x，y+1）=2[（x-1）²+y²]，
化簡(jiǎn)整理，得 （x-2）²+y²=1，
故點(diǎn)P的軌跡方程為 （x-2）²+y²=1．…（7分）
（II）因?yàn)閗=0，所以$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=0$，
所以 x²+y²=1．
所以|λ$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|²=λ²$\overrightarrow{AP}$²+$\overrightarrow{BP}$²
=λ²[x²+（y-1）²]+x²+（y+1）²
=（2-2λ²） y+2λ²+2（y∈[-1，1]）．
當(dāng)2-2λ²＞0時(shí)，即-1＜λ＜1，
（|λ$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|_max）²=2-2λ²+2λ²+2=4≠16，不合題意，舍去；
當(dāng)2-2λ²≤0時(shí)，即λ≥1或λ≤-1時(shí)，
（|λ$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|_max）²=2λ²-2+2λ²+2=16，解得λ=±2．…（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，向量的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．