已知橢圓和橢圓的離心率相同,且點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為橢圓上一點(diǎn),過點(diǎn)作直線交橢圓、兩點(diǎn),且恰為弦的中點(diǎn)。求證:無論點(diǎn)怎樣變化,的面積為常數(shù),并求出此常數(shù).

(1)橢圓的方程為;(2)的面積為常數(shù)

解析試題分析:(1)由題知,,解這個(gè)方程組求得即可得橢圓的方程;(2)涉及直線與曲線的關(guān)系的問題,多是將直線方程與曲線方程聯(lián)立再用韋達(dá)定理解決.此題中有兩個(gè)橢圓,將哪個(gè)橢圓的方程與直線方程聯(lián)立?此題意即直線與的交點(diǎn)的中點(diǎn)在上,故應(yīng)將直線方程與的方程聯(lián)立由韋達(dá)定理得中點(diǎn)坐標(biāo),再將中點(diǎn)坐標(biāo)代入的方程.然后求出三角形OAB的面積的表達(dá)式,再利用前面所得關(guān)系式化為一常數(shù)即可.
試題解析:(1)由題知, 即,橢圓的方程為;    4分
(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),必有,此時(shí),        5分
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)其斜率為、點(diǎn),則
與橢圓聯(lián)立,得,設(shè)
  即            8分
             9分



綜上,無論怎樣變化,的面積為常數(shù).            12分
考點(diǎn):1、橢圓的方程;2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)與雙曲線-=1的一個(gè)焦點(diǎn)重合,則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是(  )

A.x2=4y     B.x2=-4y
C.y2=-12x   D.x2=-12y

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如圖,過拋物線y2=2px (p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A、B,交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則此拋物線方程為(  )

A.y2=9x           B.y2=6x
C.y2=3x           D.y2x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

設(shè)拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到直線x=﹣3的距離為5,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是( 。

A.3 B.4 C.6 D.8

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已知雙曲線 (a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線(p>0)分別交于O、A、B三點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為,則p=
A.1     B.    C.2    D.3

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橢圓的右焦點(diǎn)為,橢圓軸正半軸交于點(diǎn),與軸正半軸交于,且,過點(diǎn)作直線交橢圓于不同兩點(diǎn),則直線的斜率的取值范圍是( 。

A.
B.
C.
D.

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若拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),則實(shí)數(shù)等于(    )

A. B. C. D.

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已知點(diǎn),分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過且垂直于 軸的直線與雙曲線交于,兩點(diǎn),若是鈍角三角形,則該雙曲線離心率的取值范圍是(  )

A. B. 
C. D. 

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等軸雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn),則的實(shí)軸長(zhǎng)為(   )

A.
B.2
C.4
D.8

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