Question

13．已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常數(shù)，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）證明：（1-$\frac{1}{2}$）•（$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{3}$）•（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）…（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）＜e^3（3-n）．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和單調(diào)性；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，讓最小值等于3，解參數(shù)a；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到lnx≤e²x-3，令x=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，累加即可．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=x-lnx，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
  當(dāng)1＜x≤e時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）的極小值為f（1）=1；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，有最小值3，
則f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，
f（x）_min=f（e）=ae-1=3，a=$\frac{4}{e}$，（舍去），此時(shí)函數(shù)f（x）的最小值不是3．
②當(dāng)0＜$\frac{1}{a}$＜e時(shí)，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$]上單調(diào)遞減，f（x）在（$\frac{1}{a}$，e]上單調(diào)遞增．
所以f（x）_min=f（$\frac{1}{a}$）=1+lna=3，a=e2，滿足條件．
③當(dāng)$\frac{1}{a}$≥e時(shí)，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，a=$\frac{4}{e}$，（舍去），
此時(shí)函數(shù)f（x）的最小值是不是3，
綜上可知存在實(shí)數(shù)a=e²，使f（x）的最小值是3．
（3）由（2）知：當(dāng)x∈（0，e]，e²x-lnx≥3，∴l(xiāng)nx≤e²x-3，
∴$ln（{1-\frac{1}{2}}）≤{e^2}（{1-\frac{1}{2}}）-3，ln（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）≤{e^2}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）-3，…，ln（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）≤{e^2}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）-3$；
n個(gè)式子相加得：$ln[（1-\frac{1}{2}）•（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）•（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）•…•（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]≤{e^2}（{1-\frac{1}{n+1}}）-3n＜9-3n$；
∴$（1-\frac{1}{2}）•（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）•（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）•…•（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）＜{e^{3（3-n）}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．