Question

4．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=（5，-10），$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$=（3，6），則$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$夾角的余弦值為$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

Answer 1

分析 設(shè)出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的坐標，利用$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$列出方程，求出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的坐標，再求$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角的余弦值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow$=（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（5，-10），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（3，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}=5}\\{{x}_{1}{-x}_{2}=3}\end{array}\right.$，且$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}{+y}_{2}=-10}\\{{y}_{1}{-y}_{2}=6}\end{array}\right.$，
解得x₁=4，x₂=1，y₁=-2，y₁=-8，
∴$\overrightarrow{a}$=（4，-2），$\overrightarrow$=（1，-8）；
∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角的余弦值為：
cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow|}$=$\frac{4×1+（-2）×（-8）}{\sqrt{{4}^{2}{+（-2）}^{2}}×\sqrt{{1}^{2}{+（-8）}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．
故答案為：$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$．

點評 本題考查了平面向量的坐標表示以及求向量夾角的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目