Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ⁺¹-2，數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}{a}_{n}}$，c_n=a_n+b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）a₁=S₁=2，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=2ⁿ；
（2）由b_n=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{（n+1）n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，c_n=a_n+b_n，數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，T_n=a₁+b₁+a₂+b₂+…+a_n+b_n，采用分組求和及等比數(shù)列通項公式和“裂項法”即可求得數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）n=1時，a₁=S₁=2，
∴當(dāng)n≥2時，S_n-1=2ⁿ-2，
∴a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
當(dāng)n=1時，成立，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=2ⁿ；
（2）b_n=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{（n+1）n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
由c_n=a_n+b_n，
數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，T_n=a₁+b₁+a₂+b₂+…+a_n+b_n
=2+2²+2³+…+2ⁿ+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n+1）n}$
=2+2²+2³+…+2ⁿ+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=2ⁿ⁺¹-2+1-$\frac{1}{n+1}$，
=2ⁿ⁺¹-$\frac{1}{n+1}$-1，
數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=2ⁿ⁺¹-$\frac{1}{n+1}$-1．

點評 本題考查等比數(shù)列通項公式及前n項和公式，考查分組求和，“裂項法”求數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．