Question

14．在平面內將點A（2，1）繞原點按逆時針方向旋轉$\frac{3π}{4}$，得到點B，則點B的坐標為（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 AC⊥x軸于C點，BD⊥x軸于D點，由點A的坐標得到AC，OC，可求sin∠AOC，cos∠AOC，再根據(jù)旋轉的性質得到∠BOC=∠AOC+$\frac{3π}{4}$，OA=OB，利用兩角和的正弦函數(shù)，余弦函數(shù)公式即可得到B點坐標．

解答 解：如圖，作AC⊥x軸于C點，BD⊥x軸于D點，
∵點A的坐標為（2，1），
∴AC=1，OC=2，
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴sin∠AOC=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cos∠AOC=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∵OA繞原點按逆時針方向旋轉$\frac{3π}{4}$得OB，
∴∠AOB=$\frac{3π}{4}$，OA=OB=$\sqrt{5}$，
∴∠BOC=∠AOC+$\frac{3π}{4}$，
∴sin∠BOC=sin（∠AOC+$\frac{3π}{4}$）=sin∠AOCcos$\frac{3π}{4}$+cos∠AOCsin$\frac{3π}{4}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+$\frac{2}{\sqrt{5}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
cos∠BOC=cos（∠AOC+$\frac{3π}{4}$）=cos∠AOCcos$\frac{3π}{4}$-sin∠AOCsin$\frac{3π}{4}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）-$\frac{1}{\sqrt{5}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴DB=OBsin∠BOC=$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OD=OBcos∠BOC=$\sqrt{5}$×（-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$）=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴B點坐標為：（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
故答案為：（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點評 本題考查了坐標與圖形變化-旋轉：把點旋轉的問題轉化為直角三角形旋轉的問題，根據(jù)直角三角形的性質確定點的坐標．也考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應用，考查了數(shù)形結合思想，屬于中檔題．