Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|-|2x+1|的最大值為m．
（Ⅰ）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（Ⅱ）若a²+2c²+3b²=m，求ab+2bc的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分段函數(shù)，化簡函數(shù)的解析式，從而作函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，求得函數(shù)的最大值m．
（Ⅱ）由題意可得a²+2c²+3b²=m=$\frac{3}{2}$=（a²+b²）+2（c²+b²），利用基本不等式求它的最值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|x-1|-|2x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，x≤-\frac{1}{2}}\\{-3x，-\frac{1}{2}＜x＜1}\\{-x-2，x≥1}\end{array}\right.$，
畫出圖象如圖，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為m=$\frac{3}{2}$．
∵a²+2c²+3b²=m=$\frac{3}{2}$=（a²+b²）+2（c²+b²）≥2ab+4bc，
∴ab+2bc≤$\frac{3}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時，取等號，
故ab+2bc的最大值為$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，作函數(shù)的圖象，利用基本不等式求函數(shù)的最值，屬于中檔題．