Question

9．已知邊長為2的正方形ABCD的四個頂點(diǎn)在球O的球面上，球O的體積為V_球=$\frac{160\sqrt{5}π}{3}$，則OA與平面ABCD所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 作平面ABCD的垂線OM，則M為正方形中心，∠OAM為OA與平面ABCD所成的角，求出球的半徑OA，AM，即可得出所求角的余弦值．

解答 解：過O作OM⊥平面ABCD，垂足我M，則M為正方形ABCD的中心．
∵正方形ABCD的邊長為2，
∴AC=2$\sqrt{2}$，AM=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，
∵V_球O=$\frac{4}{3}$πr³=$\frac{160\sqrt{5}π}{3}$，
∴球O的半徑OA=r=2$\sqrt{5}$．
∴OA與平面ABCD所成的角的余弦值為cos∠OAM=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面角的計(jì)算，球的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．