Question

18．已知M是直線l：x=-1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，0），過M的直線l′與l垂直，并且l′與線段MF的垂直平分線相交于點(diǎn)N．
（Ⅰ）求點(diǎn)N的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），直線AP與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為B（B與A′不重合），是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得T，A′，B三點(diǎn)共線？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲線C為拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），點(diǎn)N的軌跡C的方程y²=4x；
（Ⅱ）設(shè)A（$\frac{{a}^{2}}{4}$，a），則A′（$\frac{{a}^{2}}{4}$，-a），直線AB的方程y=$\frac{4a}{{a}^{2}-8}$（x-2），代入拋物線方程，求得B的坐標(biāo)，A′B的方程為y+a=-$\frac{4a}{8+{a}^{2}}$（x-$\frac{{a}^{2}}{4}$），則令y=0，則x=-2，直線A′B與x軸交于定點(diǎn)T（-2，0），即可求得存在一個(gè)定點(diǎn)T（-2，0），使得T，A′，B三點(diǎn)共線

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲線C為拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），
準(zhǔn)線方程為l：x=-1，
∴點(diǎn)N的軌跡C的方程y²=4x；

（Ⅱ）設(shè)A（$\frac{{a}^{2}}{4}$，a），則A′（$\frac{{a}^{2}}{4}$，-a），
直線AP的斜率k_AP=$\frac{a}{\frac{{a}^{2}}{4}-2}$=$\frac{4a}{{a}^{2}-8}$，
直線AB的方程y=$\frac{4a}{{a}^{2}-8}$（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=\frac{4a}{{a}^{2}-8}（x-2）}\end{array}\right.$，整理得：ay²-（a²-8）y-8a=0，
設(shè)B（x₂，y₂），則ay₂=-8，則y₂=-$\frac{8}{a}$，x₂=$\frac{16}{{a}^{2}}$，
則B（$\frac{16}{{a}^{2}}$，-$\frac{8}{a}$），
又A′（$\frac{{a}^{2}}{4}$，-a），
∴A′B的方程為y+a=-$\frac{4a}{8+{a}^{2}}$（x-$\frac{{a}^{2}}{4}$），
令y=0，則x=-2，
直線A′B與x軸交于定點(diǎn)T（-2，0），
因此存在定點(diǎn)（-2，0），使得T，A′，B三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線的斜率及方程，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．