Question

14．2016屆高三某次聯(lián)考之后，某中學(xué)的數(shù)學(xué)教師對(duì)A班和B班共n名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（滿(mǎn)分150分），得到如下各分?jǐn)?shù)段內(nèi)的男生人數(shù)統(tǒng)計(jì)表和各個(gè)分?jǐn)?shù)段人數(shù)的頻率分布直方圖．

組數(shù)	分組	男生	占本組的頻率
第一組	[80，90）	12	0.6
第二組	[90，100）	10	p
第三組	[100，110）	10	0.5
第四組	[110，120）	a	0.4
第五組	[120，130）	3	0.3
第六組	[130，140]	6	0.6

（1）求n，a，p的值和頻率分布直方圖中第二組矩形的高；
（2）分?jǐn)?shù)在[130，140]的男生中，A班有4人，從這6個(gè)男生中任選2人進(jìn)行學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流，求取到2人中至少一名是B班男生的概率；
（3）若110分（含110分）以上為優(yōu)秀．
（i）完成下面的2×2列聯(lián)表，并求出男生和女生的優(yōu)秀率；

成績(jī) 性別	優(yōu)秀	不優(yōu)秀	總計(jì)
男生
女生
總計(jì)

（ii）根據(jù)上面表格的數(shù)據(jù)，判斷是否有90%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)與性別有關(guān)”？
附表及公式：

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）利用頻率、頻數(shù)、樣本容量的關(guān)系，即可得出結(jié)論；
（2）求出基本事件的個(gè)數(shù)，即可求取到2人中至少一名是B班男生的概率；
（3）（i）根據(jù)條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并求出男生和女生的優(yōu)秀率；
（ii）根據(jù)上面表格的數(shù)據(jù)，求出K²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）第一組的人數(shù)為$\frac{12}{0.6}$=20，概率為0.020×10=0.2，所以n=$\frac{20}{0.2}$=100．
由題可知，第二組的頻率為1-0.2-0.2-0.15-0.1-0.1=0.25，
所以第二組矩形的高為$\frac{0.25}{10}$=0.025，可知第二組的人數(shù)為100×0.25=25，
所以p=$\frac{10}{25}$=0.4，
第四組的頻率為0.015×10=0.15，第四組的人數(shù)為100×0.15=15，
所以a=15×0.4=6；
（2）分?jǐn)?shù)在[130，140]的男生共6人，A班有4人，從這6個(gè)男生中任選2人進(jìn)行學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流，有C₆²=15種情況，取到2人中至少一名是B班男生，有15-C₄²=9種情況，
∴取到2人中至少一名是B班男生的概率是$\frac{9}{15}$=0.6；
（3）（i）完成下面的2×2列聯(lián)表，

成績(jī) 性別	優(yōu)秀	不優(yōu)秀	總計(jì)
男生	15	32	47
女生	20	33	53
總計(jì)	35	65	100

男生的優(yōu)秀率0.15，女生的優(yōu)秀率0.2；
（ii）根據(jù)上面表格的數(shù)據(jù)，K²=$\frac{100×（15×33-20×32）^{2}}{35×65×47×53}$≈0.371＜2.706，
∴沒(méi)有90%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)與性別有關(guān)”．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題，考查概率的計(jì)算，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．