Question

7．如圖，平面SAB為圓錐的軸截面，O為底面圓的圓心，M為母線SB的中點，N為底面圓周上的一點，AB=4，SO=6．
（1）求該圓錐的側面積；
（2）若直線SO與MN所成的角為30°，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）由題意知SO⊥平面ABN，在RT△SOB中，由條件和勾股定理求出母線BS，由圓錐的側面積公式求出該圓錐的側面積；
（2）取OB的中點C，連接MC、NC，由條件和中位線定理可得MC∥SO、MC的長，由條件和線面角的定理求出∠NMC，在RT△MCN中由余弦函數(shù)求出MN的長．

解答 解：（1）由題意知，SO⊥平面ABN，
在RT△SOB中，OB=$\frac{1}{2}$AB=2，SO=6，
∴BS=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=$2\sqrt{10}$，
∴該圓錐的側面積S=π•OB•BS=$4\sqrt{10}π$；
（2）取OB的中點C，連接MC、NC，
∵M為母線SB的中點，∴MC為△SOB的中位線，
∴MC∥SO，MC=$\frac{1}{2}$SO=3，
∵SO⊥平面ABN，∴MC⊥平面ABN，
∵NC?平面ABN，∴MC⊥NC，
∵直線SO與MN所成的角為30°，∴∠NMC=30°，
在RT△MCN中，$\frac{MC}{MN}=cos30°$，
∴MN=$\frac{MC}{cos30°}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$2\sqrt{3}$．

點評 本題考查圓錐的側面積公式，線面角的定理，以及線面垂直的定義，屬于中檔題．