Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x≥1}\\{1-\frac{x}{2}，x＜1}\end{array}$，若F（x）=f[f（x）+1]+m有兩個零點x₁，x₂，則x₁•x₂的取值范圍是（　�。�

• A． [4-2ln2，+∞）
• B． （$\sqrt{e}$，+∞）
• C． （-∞，4-2ln2]
• D． （-∞，$\sqrt{e}$）

Answer 1

分析 由題意可知：當x≥1時，f（x）+1≥1，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），當x＜1，f（x）=1-$\frac{x}{2}$＞$\frac{1}{2}$，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，則x₁x₂=e^t（2-2t），t＞$\frac{1}{2}$，設g（t）=e^t（2-2t），t＞$\frac{1}{2}$，求導，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性區(qū)間，即可求得x₁x₂的取值范圍．

解答 解：當x≥1時，f（x）=lnx≥0，
∴f（x）+1≥1，
∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），
當x＜1，f（x）=1-$\frac{x}{2}$＞$\frac{1}{2}$，f（x）+1＞$\frac{3}{2}$，
f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），
綜上可知：F[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，
則f（x）+1=e^-m，f（x）=e^-m-1，有兩個根x₁，x₂，（不妨設x₁＜x₂），
當x≥1是，lnx₂=e^-m-1，當x＜1時，1-$\frac{{x}_{1}}{2}$=e^-m-1，
令t=e^-m-1＞$\frac{1}{2}$，則lnx₂=t，x₂=e^t，1-$\frac{{x}_{1}}{2}$=t，x₁=2-2t，
∴x₁x₂=e^t（2-2t），t＞$\frac{1}{2}$，
設g（t）=e^t（2-2t），t＞$\frac{1}{2}$，
求導g′（t）=-2te^t，
t∈（$\frac{1}{2}$，+∞），g′（t）＜0，函數(shù)g（t）單調遞減，
∴g（t）＜g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$，
∴g（x）的值域為（-∞，$\sqrt{e}$），
∴x₁x₂取值范圍為（-∞，$\sqrt{e}$），
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)零點的判定，利用導數(shù)求函數(shù)的單調性及最值，考查計算能力，屬于中檔題．