Question

11．如圖（1），在五邊形BCDAE中，CD∥AB，∠BCD=90°，CD=BC=1，AB=2，△ABE是以AB為斜邊的等腰直角三角形，現(xiàn)將△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，如圖（2），記線段AB的中點(diǎn)為O．
（Ⅰ）求證：平面ABE⊥平面EOD；
（Ⅱ）求平面ECD與平面ABE所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出四邊形OBCD為平行四邊形，AB⊥OD，EO⊥AB，從而AB⊥平面EOD，由此能證明平面ABE⊥平面EOD．
（Ⅱ）以O(shè) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B，OD，OE所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面ECD與平面ABE所成的銳二面角的大小．

解答 證明：（Ⅰ）∵AB=2CD，O是線段AB的中點(diǎn)，∴OB=CD，
又∵OB∥CD，∴四邊形OBCD為平行四邊形，
又∠BCD=90°，∴AB⊥OD，
又∵O是等腰直角△EAB斜邊上的中點(diǎn)，
∴EO⊥AB，
∵EO∩DO=O，∴AB⊥平面EOD，
∵AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面EOD．
解：（Ⅱ）∵平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，
∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥OD，
∴OB，OD，OE兩兩垂直，
以O(shè) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B，OD，OE所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵△EAB為等腰直角三角形，且CD=BC=1，
∴OA=OB=OD=OE=1，
∴O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），
C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1），
∴$\overrightarrow{CD}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，-1，1），
設(shè)平面ECD的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=-x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
∵OD⊥平面ABE，∴$\overrightarrow{OD}=（0，1，0）$是平面ABE的一個(gè)法向量，
設(shè)平面ECD與平面ABE所成的銳二面角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{OD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴平面ECD與平面ABE所成的銳二面角的大小為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．