Question

18．已知曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以直角坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程是$ρsinθ-2ρcosθ=4\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)P為曲線C₁上任意一點(diǎn)，Q為曲線C₂上任意一點(diǎn)，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式求解即可；
（Ⅱ）將C₁的參數(shù)方程代入到點(diǎn)到直線的距離公式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出距離的最小值．

解答 （本題滿分為10分）
解：（Ⅰ）將$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，代入ρsin$θ-2ρcosθ=4\sqrt{2}$，
得：曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為：y-2x-4$\sqrt{2}$=0．…（4分）
（Ⅱ）由題意可知|PQ|的最小值即為P到直線y-2x=4$\sqrt{2}$的距離的最小值，
∵d=$\frac{|2cosφ-2sinφ+4\sqrt{2}|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{2}cos（φ+\frac{π}{4}）+4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，
所以|PQ|的最小值為d_min=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于中檔題．