Question

11．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，$AB=BC=\frac{1}{2}A{A_1}$，E為BC的中點(diǎn)，則異面直線A₁E與D₁C₁所成角的正切值為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{17}}}{2}$
• D． $\frac{{2\sqrt{21}}}{21}$

Answer 1

分析 以D原點(diǎn)，DA為x軸，AC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角系，利用向量法能求出異面直線A₁E與D₁C₁所成角的正切值．

解答 解：以D原點(diǎn)，DA為x軸，AC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角系，
設(shè)$AB=BC=\frac{1}{2}A{A_1}$=1，則A₁（1，0，2），E（$\frac{1}{2}$，1，0），C₁（0，1，2），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-$\frac{1}{2}$，1，-2），$\overrightarrow{{D}_{1}{C}_{1}}$=（0，1，0），
設(shè)異面直線A₁E與D₁C₁所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{{D}_{1}{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}E}|•|\overrightarrow{{D}_{1}{C}_{1}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{21}{4}}•\sqrt{1}}$=$\frac{2}{\sqrt{21}}$，
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{2}{\sqrt{21}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{21}}$，
∴tanθ=$\frac{\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{21}}}{\frac{2}{\sqrt{21}}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$．
∴異面直線A₁E與D₁C₁所成角的正切值為$\frac{\sqrt{17}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．