Question

15．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F與橢圓$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=$\frac{1}{2}$的一個(gè)焦點(diǎn)重合，直線l過點(diǎn)A（4，0）且與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求p的值；
（2）若$\overrightarrow{FP}$+$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{FR}$，試求動點(diǎn)R的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）把橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{8}=\frac{1}{2}$化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0），又拋物線C的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，從而$\frac{p}{2}=1$，由此能求出p．
（2）設(shè)R（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由$\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FQ}$=$\overrightarrow{FR}$，得x₁+x₂=x+1，y₁+y₂=y，從而y（y₁-y₂）=（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），F(xiàn)R的中點(diǎn)坐標(biāo)為M（$\frac{x+1}{2}$，$\frac{y}{2}$），利用k_PQ=k_MA，能求出動點(diǎn)R的軌跡方程．

解答 解：（1）把橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{8}=\frac{1}{2}$化為標(biāo)準(zhǔn)方程得$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∴c=$\sqrt{5-4}$=1，
∴其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0），又拋物線C的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，
∴$\frac{p}{2}=1$，解得p=2．
（2）設(shè)R（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FQ}$=$\overrightarrow{FR}$，得（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₂）=（x-1，y），
∴x₁+x₂=x+1，y₁+y₂=y，
∵${{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}，{{y}_{2}}^{2}=4{x}_{2}$，∴y（y₁-y₂）=（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
又FR的中點(diǎn)坐標(biāo)為M（$\frac{x+1}{2}$，$\frac{y}{2}$），
當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，利用k_PQ=k_MA，得$\frac{4}{y}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{\frac{y}{2}}{\frac{x+1}{2}-4}$，
整理，得y²=4x-28，
當(dāng)x₁=x₂時(shí)，R的坐標(biāo)為（7，0），滿足y²=4x-28，
∴動點(diǎn)R的軌跡方程是y²=4x-28．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線、橢圓的概念和性質(zhì)，直線和橢圓、拋物線的位置關(guān)系，直線的性質(zhì)等知識，意在考查轉(zhuǎn)化和化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想和學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是中檔題．