Question

20．已知函數(shù)f（x）=2lnx+ax-$\frac{4f′（2）}{x}$（a∈R）在x=2處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-4，2ln2）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性
（2）若不等式$\frac{2xlnx}{{1-{x^2}}}＞mx-1$恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，當(dāng)x=2時，代入f′（x），即可求得a=-1，求得點(diǎn)斜式方程，將（-4，2ln2）代入點(diǎn)斜式方程，即可求得f′（2），即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意可知$\frac{1}{1-{x}^{2}}$（2lnx+$\frac{1-{x}^{2}}{x}$）＞m，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)性質(zhì)，求得$\frac{1}{1-{x}^{2}}$（2lnx+$\frac{1-{x}^{2}}{x}$）最小值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）=2lnx+ax-$\frac{4f′（2）}{x}$（a∈R），求導(dǎo)f′（x）=$\frac{2}{x}$+a+$\frac{4f′（2）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x=2時，f′（2）=1+a+f′（2），
∴a=-1，
設(shè)切點(diǎn)為（2，2ln2+2a-2f′（2）），則切線方程y-（2ln2+2a-2f′（2））=f′（2）（x-2），
將（-4，2ln2）代入切線方程，2ln2-2ln2-2a+2f′（2））=-6f′（2），則f′（2）=-$\frac{1}{4}$，
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{-（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≤0，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
（2）由不等式$\frac{2xlnx}{{1-{x^2}}}＞mx-1$恒成立，則$\frac{1}{1-{x}^{2}}$（2lnx+$\frac{1-{x}^{2}}{x}$）＞m，
令φ（x）=2lnx+$\frac{1-{x}^{2}}{x}$，（x＞0）求導(dǎo)φ′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$-1=-（$\frac{1}{x}$-1）²≤0，
∴φ（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
由φ（1）=0，
則當(dāng)0＜x＜1時，φ（x）＞0，
當(dāng)x＞1時，φ（x）＜0，
∴$\frac{1}{1-{x}^{2}}$（2lnx+$\frac{1-{x}^{2}}{x}$）在（0，+∞）恒大于0，
∴m≤0，
實(shí)數(shù)m的取值范圍（-∞，0]．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，函數(shù)的零點(diǎn)定理，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．