Question

7．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為（3，4），則此雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$
• B． $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1$
• C． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，點（3，4）到原點的距離等于半焦距，可得a²+b²=25．由點（3，4）在雙曲線的漸近線上，得到$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，兩式聯(lián)解得出a=3且b=4，即可得到所求雙曲線的方程．

解答 解：∵點（3，4）在以|F₁F₂|為直徑的圓上，
∴c=5，可得a²+b²=25…①
又∵點（3，4）在雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x上，
∴$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$…②，
①②聯(lián)解，得a=3且b=4，
可得雙曲線的方程$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
故選：C．

點評 本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的方程，考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)，主要是漸近線方程的運(yùn)用，屬于中檔題．