Question

16．三棱錐P-ABC中，底面△ABC滿足BA=BC，$∠ABC=\frac{π}{2}$，P在面ABC的射影為AC的中點，且該三棱錐的體積為$\frac{9}{2}$，當其外接球的表面積最小時，P到面ABC的距離為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $3\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設AB=a，棱錐的高為h，根據(jù)體積得出a與h的關系，根據(jù)勾股定理得出外接球半徑R關于h的表達式，利用基本不等式得出R最小值時對應的h的值即可．

解答 解：設AC的中點為D，連接BD，PD，則PD⊥平面ABC，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴外接球的球心O在PD上，
設AB=BC=a，PD=h，外接球半徑OC=OP=R，
則OD=h-R，CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∵V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•h$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}{a}^{2}•h$=$\frac{9}{2}$，∴a²=$\frac{27}{h}$，
∵CD²+OD²=OC²，即（h-R）²+$\frac{1}{2}$a²=R²，
∴R=$\frac{{h}^{2}+\frac{1}{2}{a}^{2}}{2h}$=$\frac{h}{2}+\frac{27}{4{h}^{2}}$=$\frac{h}{4}+\frac{h}{4}+\frac{27}{4{h}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{27}{64}}$=$\frac{9}{4}$，
當且僅當$\frac{h}{4}=\frac{h}{4}=\frac{27}{4{h}^{2}}$即h=3時取等號，
∴當外接球半徑取得最小值時，h=3．
故選：B．

點評 本題考查了棱錐的結構特征，棱錐與球的位置關系，屬于中檔題．