Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中．已知直線l的普通方程為x-y-2=0，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求線段AB的長
（2）已知點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動．當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的最大面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，將曲線C的參數(shù)方程變形為普通方程，將直線x-y-2=0代入其中，可得x²-3x=0，解可得x的值，由弦長公式計(jì)算可得答案；
（2）分析可得要使△PAB的面積最大，則必須使P到直線直線l的距離最大，設(shè)P的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），由點(diǎn)到直線l的距離公式可得d=$\frac{|4cos（θ+\frac{π}{6}）-2|}{\sqrt{2}}$，由余弦函數(shù)的性質(zhì)分析可得當(dāng)θ+$\frac{π}{6}$=π，即θ=$\frac{5π}{6}$時(shí)，d取得最大值，代入點(diǎn)的坐標(biāo)（2$\sqrt{3}$cosθ，2sinθ）中可得P的坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算可得△PAB的最大面積，即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，則其普通方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
將直線x-y-2=0代入$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1可得：x²-3x=0，
解可得x=0或3，
故|AB|=$\sqrt{1+{1}^{2}}$|x₁-x₂|=3$\sqrt{2}$；
（2）要求在橢圓$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上求一點(diǎn)P，使△PAB的面積最大，則P到直線直線l的距離最大；
設(shè)P的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），
則P到直線l的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-2sinθ-2|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|4cos（θ+\frac{π}{6}）-2|}{\sqrt{2}}$，
又由θ∈[0，2π），則$\frac{π}{6}$≤θ+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
所以當(dāng)θ+$\frac{π}{6}$=π，即θ=$\frac{5π}{6}$時(shí)，d取得最大值，且d_max=3$\sqrt{2}$，
此時(shí)P（-3，1），
△PAB的最大面積S=$\frac{1}{2}$×|AB|×d=9．

點(diǎn)評 本題考查橢圓與直線的位置關(guān)系，涉及橢圓的參數(shù)方程，關(guān)鍵是正確將參數(shù)方程化為普通方程．