Question

6．平面直角坐標系中，角θ滿足$sin\frac{θ}{2}=-\frac{4}{5}$，$cos\frac{θ}{2}=\frac{3}{5}$，$\overrightarrow{OA}=（{-1\;，\;0}）$，設(shè)點B是角θ終邊上一動點，則$|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$的最小值是$\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 由條件利用二倍角公式求得cosθ 和sinθ 的值，根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求得B的坐標，再根據(jù)向量模的計算得到關(guān)于m的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最值．

解答 解：∵$sin\frac{θ}{2}=-\frac{4}{5}$，$cos\frac{θ}{2}=\frac{3}{5}$，
∴sinθ=2sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$=-2×$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$=-$\frac{24}{25}$，cosθ=2cos²$\frac{θ}{2}$-1=-$\frac{7}{25}$，
∵點B是角θ終邊上一點，
不妨設(shè)|$\overrightarrow{OB}$|=25m（m＞0），則B（-7m，-24m），
∵$\overrightarrow{OA}=（{-1\;，\;0}）$，
∴$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=（-1+7m，24m），
∴$|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$²=（-1+7m）²+（24m）²=625m²-14m+1，
當m=$\frac{7}{625}$時，有最小值，最小值為$\frac{576}{625}$，
故$|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$的最小值是$\frac{24}{25}$，
故答案為：$\frac{24}{25}$．

點評 本題主要考查二倍角公式，任意角的三角函數(shù)的定義，向量的模，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．