Question

8．雙曲線E與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1有相同焦點，且以E的一個焦點為圓心與雙曲線的漸近線相切的圓的面積為π，則E的離心率為（　�。�

• A． e=$\sqrt{2}$
• B． e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． e=$\frac{\sqrt{30}}{5}$
• D． e=$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求得橢圓的焦點，可設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），運用直線和圓相切的條件：d=r，以及點到直線的距離公式，結合雙曲線的a，b，c的關系，由離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1的焦點為（-$\sqrt{6}$，0），（$\sqrt{6}$，0），
設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
可得c=$\sqrt{6}$，
可設焦點（$\sqrt{6}$，0）到雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x的距離為d，
則d=$\frac{|\sqrt{6}b|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，
化為a²=5b²，又a²+b²=6，
解得a=$\sqrt{5}$，b=1，
則雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用橢圓的焦點和雙曲線的漸近線方程，考查直線和圓相切的條件：d=r，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．