Question

20．設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，拋物線C上點M（3，y₀）滿足|MF|=4．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若圓N：（x-4）²+y²=0的切線l₁與拋物線相交于A，B兩點，直線l₁的平行線l₂與拋物線C相切于點P，求△PAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線的定義，求出p，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）先表示出△PAB面積，再換元，求出△PAB面積的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵拋物線C上點M（3，y₀）滿足|MF|=4，
∴3+$\frac{p}{2}$=2，
∴p=2，…（4分）
故拋物線C的方程為y²=4x；…（5分）
（Ⅱ）設l₁：x=my+n，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由l₁與圓N相切得$\frac{|4-n|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=3，
∴m²=$\frac{{n}^{2}-8n+7}{9}$…（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得y²-4my-4n=0
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n
|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=4$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{{m}^{2}+n}$…（10分）
不妨設l₂：x=my+t，由$\left\{\begin{array}{l}x=my+t\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得y²-4my-4t=0
∵直線l₂與拋物線相切，
∴△=16m²+16t=0，
∴t=-m²，
∴l(xiāng)₂：x=my-m²    
∴l(xiāng)₁與l₂的距離為d=$\frac{|{m}^{2}+n|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$ …（12分）
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$|AB|d=2$\sqrt{{m}^{2}+n}$•|m²+n|
設u=$\sqrt{{m}^{2}+n}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{{n}^{2}+n+7}$=$\frac{1}{3}\sqrt{（n+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{27}{4}}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴S_△PAB=2u³$≥2×{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）^3}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，
當n=-$\frac{1}{2}$時，△PAB面積的最小值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$． …（15分）

點評 本題考查拋物線的方程與定義，考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．