Question

20．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|，g（x）=|x-1|+a．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，解不等式f（x）≥g（x）；
（2）若任意x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用不等式取得絕對(duì)值轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）分離變量，利用函數(shù)恒成立，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的最小值推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，由f（x）≥g（x）；
得|2x+1|≥|x-1|，
兩邊平方整理得x²+2x≥0，解得x≥0或x≤-2
∴原不等式的解集為（-∞，-2]∪[0，+∞）…（5分）
（2）由f（x）≤g（x）；
得a≤|2x+1|-|x-1|，
令h（x）=|2x+1|-|x-1|，即h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-2，x≤-\frac{1}{2}}\\{3x，-\frac{1}{2}＜x＜1}\\{x+2，x≥1}\end{array}\right.$ （7分）
故h（x）_min=h（$-\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{2}$，故可得到所求實(shí)數(shù)a的范圍為：（-∞，-$\frac{3}{2}$]…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立，絕對(duì)值不等式的解法，考查計(jì)算能力．