Question

5．如圖所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿著同一條直線航行，某一時(shí)刻，甲船在最前面的A點(diǎn)處，乙船在中間B點(diǎn)處，丙船在最后面的C點(diǎn)處，且BC：AB=3：1．一架無人機(jī)在空中的P點(diǎn)處對(duì)它們進(jìn)行數(shù)據(jù)測(cè)量，在同一時(shí)刻測(cè)得∠APB=30°，∠BPC=90°．（船只與無人機(jī)的大小及其它因素忽略不計(jì)）
（1）求此時(shí)無人機(jī)到甲、丙兩船的距離之比；
（2）若此時(shí)甲、乙兩船相距100米，求無人機(jī)到丙船的距離．（精確到1米）

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，即可求此時(shí)無人機(jī)到甲、丙兩船的距離之比；
（2）若此時(shí)甲、乙兩船相距100米，由余弦定理求無人機(jī)到丙船的距離．

解答 解：（1）在△APB中，由正弦定理，得，$\frac{AP}{sin∠APB}=\frac{AB}{sin∠APB}=\frac{AB}{{\frac{1}{2}}}$，
在△BPC中，由正弦定理，得$\frac{CP}{sin∠CBP}=\frac{BC}{sin∠CPB}=\frac{BC}{1}$，
又$\frac{BC}{AB}=\frac{3}{1}$，sin∠ABP=sin∠CBP，
故$\frac{AP}{CP}=\frac{2}{3}$．即無人機(jī)到甲、丙兩船的距離之比為$\frac{2}{3}$．
（2）由BC：AB=3：1得AC=400，且∠APC=120°，
由（1），可設(shè)AP=2x，則CP=3x，
在△APC中，由余弦定理，得160000=（2x）²+（3x）²-2（2x）（3x）cos120°，
解得$x=\frac{400}{{\sqrt{19}}}=\frac{{400\sqrt{19}}}{19}$，
即無人機(jī)到丙船的距離為$CP=3x=\frac{{1200\sqrt{19}}}{19}$≈275米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題．