Question

7．已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間   
（2）求f（x）在$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)的值域
（3）敘述由$y=\sqrt{2}sinx$到y(tǒng)=f（x）的圖象的變換過程．

Answer 1

分析 首先畫出三角函數(shù)式為最簡形式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)解之．

解答 解：由已知f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x=1+sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，
所以（1）令2x+$\frac{π}{4}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{3π}{2}$]，得到f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[k$π+\frac{π}{8}$，k$π+\frac{5π}{8}$]，k∈Z；
（2）$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，所以f（x）的值域?yàn)閇1，2+$\sqrt{2}$]；
（3）由$y=\sqrt{2}sinx$的任何一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)不變，然后向左平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位，最后向上平移2個(gè)單位得到y(tǒng)=f（x）的圖象．

點(diǎn)評 不同考查了三角函數(shù)式的化簡以及利用正弦函數(shù)的性質(zhì)解答關(guān)于正弦型函數(shù)的性質(zhì)．