Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，其前n項(xiàng)和為S_n，若直線y=$\frac{1}{2}$a₁x+m與圓（x-2）²+y²=1的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x+y-d=0對稱，求數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前項(xiàng)和．

Answer 1

分析 由圓心（2，0）在直線x+y-d=0上，可得2+0-d=0，解得d．直線y=$\frac{1}{2}$a₁x+m與直線x+y-d=0垂直，可得-1×$\frac{1}{2}{a}_{1}$=-1，解得a₁．再利用等差數(shù)列的求和公式與“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：∵圓心（2，0）在直線x+y-d=0上，∴2+0-d=0，解得d=2．
直線y=$\frac{1}{2}$a₁x+m與直線x+y-d=0垂直，
∴$\frac{1}{2}{a}_{1}$=1，解得a₁=2．
∴S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n（n+1）．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前項(xiàng)和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的求和公式與“裂項(xiàng)求和”方法、直線與圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．