Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若滿足條件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$]，則稱f（x）為“倍縮函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=lnx+t為“倍縮函數(shù)”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，ln2-1）
• B． （-∞，ln2-1]
• C． （1-ln2，+∞）
• D． [1-ln2，+∞）

Answer 1

分析 由題意，函數(shù)f（x）在[a，b]上的值域是[$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$]，且是增函數(shù)；可以轉(zhuǎn)化為方程lnx-$\frac{x}{2}$+t=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，且兩根都大于0的問題，從而求出t的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=lnx+t為“倍縮函數(shù)”，
且滿足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$]，
∴f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；
∴$\left\{\begin{array}{l}{lna+t=\frac{a}{2}}\\{lnb+t=\frac{2}}\end{array}\right.$，
即$lnx-\frac{x}{2}+t=0$在（0，+∞）上有兩根，
即y=t和g（x）=$\frac{x}{2}$-lnx在（0，+∞）有2個(gè)交點(diǎn)，
g′（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-2}{2x}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞2，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故g（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
故g（x）≥g（2）=1-ln2，
故t＞1-ln2，
故選C：．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的值域問題，解題時(shí)應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有不同二交點(diǎn)，利用方程解決，是中檔題．