Question

11．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠PAD=∠PAB，AC交BD于O，
（ I）求證：平面PAC⊥平面PBD
（ II）延長BC至G，使BC=CG，連結(jié)PG，DG．試在棱PA上確定一點E，使PG∥平面BDE，并求此時$\frac{AE}{EP}$的值．

Answer 1

分析 （ I）只需證明PO⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面PAC，即可證平面PAC⊥平面PBD．
（ II）連接AG交BD于M，在△PAG中，過M作ME∥PG交PA于E，連接ED和EB，可得ADM∽△BGM，$\frac{AM}{GM}=\frac{AD}{BG}=\frac{1}{2}$，PG∥ME，得$\frac{EA}{EP}=\frac{MA}{MG}=\frac{1}{2}$，即 $\frac{AE}{EP}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：（ I）∵∠PAD=∠PAB，AD=AB，∴△PAD≌△PAB，得PB=PD，
∵O為BD中點，∴PO⊥BD，（2分）
∵底面ABCD為菱形，∴AC⊥BD，
∵AC∩PO=O，∴BD⊥平面PAC，（4分）
∵BD?平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD（6分）
（ II）連接AG交BD于M，在△PAG中，過M作ME∥PG交PA于E，連接ED和EB，
∵PG?平面BDE，ME?平面BDE，∴PG∥平面BDE（8分）
∵AD∥BG，BG=2AD，△ADM∽△BGM∴$\frac{AM}{GM}=\frac{AD}{BG}=\frac{1}{2}$，（10分）
∵PG∥ME，∴$\frac{EA}{EP}=\frac{MA}{MG}=\frac{1}{2}$，即 $\frac{AE}{EP}$=$\frac{1}{2}$（12分）

點評 本題考查了空間線面、面面位置關(guān)系，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．屬于中檔題．