18.直線l經(jīng)過點P(1,2),且與兩坐標軸圍成的面積為S,如果符合條件的直線l能作且只能作三條,則S=( �。�
A.3B.4C.5D.8

分析 解法一:由題意可設直線l的方程為:y-2=k(x-1)(k≠0),分別令x=0,令y=0,可得與坐標軸的交點.S=1212|2-k|•|k2k|,化為:k>0時,化為:k2-(4+2S)k+4=0;k<0時,化為:k2-(4-2S)k+1=0,根據(jù)符合條件的直線l能作且只能作三條,可得上述兩個方程一個僅有一個正解,而另一個有兩個不等的正解.
解法二:設x軸、y軸截距分別為a、b.對a,b分類討論:①a>0,b>0時,滿足S為定值的l只有1條.
②ab<0時,滿足S為定值的l有2條.

解答 解:解法一:由題意可設直線l的方程為:y-2=k(x-1)(k≠0),令x=0,解得y=2-k;令y=0,解得x=k2k
∴S=12|2-k|•|k2k|,化為:k2-4k-2S|k|+4=0,即k>0時,化為:k2-(4+2S)k+4=0;k<0時,化為:k2-(4-2S)k+4=0,
∵符合條件的直線l能作且只能作三條,
{4+2S0△=4+2S2160,且{42S01=42S216=0
{4+2S0△=4+2S216=0,且{42S01=42S2160,
解得S=4.
解法二:設x軸、y軸截距分別為a、b.
①a>0,b>0時,滿足S為定值的l只有1條.
此時:a=2a1,可得b=2aa1.(a>1,b>2).
S=12ab=12×2a2a1=2+(a-1)+1a1≥2+2a11a1=4,當且僅當a=2時取等號,即a=2時,S=4.
②ab<0時,滿足S為定值的l有2條.仿照①可得:當a=222,b=4(2-1)時,S=4;當a=22-2,b=-4(2+1)時,S=4.
綜上可得:滿足S為定值4的l只有2+1=3條.
故選:B.

點評 本題考查了直線的截距、三角形面積計算公式、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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