Question

7．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（0，$\sqrt{2}$），E的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
（Ⅰ）求E的標準方程；
（Ⅱ）F₁（-c，0）、F₂（c，0）分別是橢圓E的左、右焦點，直線AB過F₁交E于點A、B，直線CD過F₂交E于點C、D，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，求四邊形ABCD面積S取得的最大值時直線AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，將（0，$\sqrt{2}$）代入橢圓方程可得b的值，進而由離心率公式可得$\frac{{a}^{2}-2}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，解可得a的值，將a、b的值代入橢圓方程即可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意，先設(shè)A、B的坐標以及直線AB的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得（3+k^2）y^2-4ky-2=0，由根與系數(shù)的關(guān)系分析可以將|AB|、d用k表示出來，則可得S=d•|AB|=$\frac{8\sqrt{6•\sqrt{1+{k}^{2}}}}{3+{k}^{2}}$，由基本不等式分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（0，$\sqrt{2}$），
即有$\frac{0}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$=1，
∴b²=2．
∵e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即$\frac{{a}^{2}-2}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$．
解得，a²=6．
所以，E的標準方程是$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（Ⅰ）知c=2，設(shè)直線AB的方程為x=ky-2．
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=ky-2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$得，（3+k^2）y^2-4ky-2=0．
∴y₁+y₂=$\frac{4k}{3+{k}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{3+{k}^{2}}$；
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{3+{k}^{2}}$．
直線AB方程可變形為x-ky+2=0，∴點F₂（2，0）到直線AB的距離d=$\frac{4}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S=d•|AB|=$\frac{8\sqrt{6•\sqrt{1+{k}^{2}}}}{3+{k}^{2}}$，即S=$\frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{1+{k}^{2}}+\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}}$．
由題意，當且僅當$\sqrt{1+{k}^{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，即k²=1時，S最大，
所以直線AB的方程為x+y+2=0或x-y+2=0．

點評 本題考查橢圓與直線的位置關(guān)系，涉及橢圓的幾何性質(zhì)；關(guān)鍵是正確求出橢圓的標準方程．