Question

14．已知點P（2，2），圓C：x²+y²-8y=0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標(biāo)原點．當(dāng)|OP|=|OM|時，則直線l的斜率（　�。�

• A． k=3
• B． k=-3
• C． k=$\frac{1}{3}$
• D． k=-$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 圓心為C（0，4），半徑為4．設(shè)M（x，y），則$\overrightarrow{CM}$=（x，y-4），$\overrightarrow{MP}$=（2-x，2-y）．由題設(shè)知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，從而M的軌跡方程是（x-1）²+（y-3）²=2．當(dāng)|OP|=|OM|時，x²+y²=8，由P在以（1，3）為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓上，知|CP|=|CM|，由此能求出直線l的斜率．

解答 解：圓C的方程可化為x²+（y-4）²=16，
所以圓心為C（0，4），半徑為4．
設(shè)M（x，y），則$\overrightarrow{CM}$=（x，y-4），$\overrightarrow{MP}$=（2-x，2-y）．
由題設(shè)知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
故x（2-x）+（y-4）（2-y）=0，即（x-1）²+（y-3）²=2．
由于點P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是（x-1）²+（y-3）²=2．
當(dāng)|OP|=|OM|時，x²+y²=8，
∵P（2，2）滿足M的軌跡方程，即P在以（1，3）為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓上，
∴|CP|=|CM|，
∴直線l的斜率k_PM=-$\frac{1}{{k}_{OC}}$=-$\frac{1}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查直線的斜率的求法，考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．