Question

1．已知兩定點F₁（-2，0），F₂（2，0），曲線C上的動點M滿足|MF₁|+|MF₂|=8，直線MF₂與曲線C的另一個交點為P．
（Ⅰ）求曲線C的標準方程；
（Ⅱ）設點N（-4，0），若S${\;}_{△MN{F}_{2}}$：S${\;}_{△PN{F}_{2}}$=3：2，求直線MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|=8＞4，所以曲線C是以F₁，F₂為焦點，長軸長為8的橢圓．由此可知曲線C的方程；
（Ⅱ）設M（x_M，y_M），P（x_P，y_P），直線MN方程為y=k（x+4），其中k≠0．由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\\{y=k（x+4）}\end{array}\right.$，得（3+4k²）y²-24ky=0，由此利用韋達定理、橢圓性質，結合已知條件能fiy bm 直線MN的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵F₁（-2，0），F₂（2，0），∴|F₁F₂|=4，
∵|MF₁|+|MF₂|=8＞4，
∴曲線C是以F₁，F₂為焦點，長軸長為8的橢圓．
曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．（4分）
（Ⅱ）由題意知直線MN不垂直于x軸，也不與x軸重合或平行．（5分）
設M（x_M，y_M），P（x_P，y_P），直線MN方程為y=k（x+4），其中k≠0．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\\{y=k（x+4）}\end{array}\right.$，得（3+4k²）y²-24ky=0．
解得y=0或y=$\frac{24k}{4{k}^{2}+3}$．
依題意${y}_{M}=\frac{24k}{4{k}^{2}+3}$，x_M=$\frac{1}{k}$y_M-4=$\frac{-16{k}^{2}+12}{4{k}^{2}+3}$．（7分）
因為S△MNF2：S△PNF2=3：2，
所以$\frac{|M{F}_{2}|}{|{F}_{2}P|}$=$\frac{3}{2}$，則$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{{F}_{2}P}$．
于是$\left\{\begin{array}{l}{2-{x}_{M}=\frac{3}{2}（0-{y}_{M}）}\\{0-{y}_{M}=\frac{3}{2}（{y}_{P}-0）}\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{P}=\frac{2}{3}（2-{x}_{M}）+2=\frac{24{k}^{2}+2}{4{k}^{2}+3}}\\{{y}_{P}=-\frac{2}{3}{y}_{M}=\frac{-16M}{4{k}^{2}+3}}\end{array}\right.$，（9分）
因為點P在橢圓上，所以3（$\frac{24{k}^{2}+2}{4{k}^{2}+3}$）²+4（$\frac{-16k}{4{k}^{2}+3}$）=48．
整理得48k⁴+8k²-21=0，
解得${k}^{2}=\frac{7}{12}$或k²=-$\frac{3}{4}$（舍去），
從而k=$±\frac{\sqrt{21}}{6}$．（（11分））
所以直線MN的方程為y=$±\frac{\sqrt{21}}{6}$（x+4）．（12分）

點評 本題考查橢圓的定義標準方程及其性質、直線方程的性質、斜率計算公式，考查了轉化能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．