Question

16．已知a，b，c為正數，且a+b+c=1．
（1）求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$的最小值；
（2）求$\frac{1}{3a+2}$+$\frac{1}{3b+2}$+$\frac{1}{3c+2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用柯西不等式的性質即可得出．
（2）變形利用柯西不等式的性質即可得出．

解答 解：（1）∵a，b，c為正數，且a+b+c=1．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$=（a+b+c）$（\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}）$≥3$（a×\frac{1}{a}+b×\frac{1}+c×\frac{1}{c}）$=9，
當且僅當a=b=c=$\frac{1}{3}$時取等號．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$的最小值為9．
（2）∵a，b，c為正數，且a+b+c=1．
∴$\frac{1}{3a+2}$+$\frac{1}{3b+2}$+$\frac{1}{3c+2}$=$\frac{1}{9}$（3a+2+3b+2+3c+2）$（\frac{1}{3a+2}+\frac{1}{3b+2}+\frac{1}{3c+2}）$
≥$\frac{1}{9}$×3×（1+1+1）=1，當且僅當3a+2=3b+2=3c+2=3，即a=b=c=$\frac{1}{3}$時取等號．
∴$\frac{1}{3a+2}$+$\frac{1}{3b+2}$+$\frac{1}{3c+2}$的最小值是1．

點評 本題考查了柯西不等式的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．