Question

5．已知函數(shù)f（x）=ax²-1+lnx，其中a為實數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=-$\frac{1}{2e}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，若函數(shù)g（x）=|f（x）|-$\frac{2lnx+1}{x}$-b存在零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)數(shù)，對參數(shù)a進行分類討論得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）把問題轉(zhuǎn)化為|f（x）|=$\frac{2lnx+1}{x}$+b有實數(shù)根，分別構(gòu)造函數(shù)f（x），h（x），求出各函數(shù)的最大值，結(jié)合題意得出b的范圍．

解答 解：（1）f（x）=2ax+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}}{x}$，
當(dāng)a≥0時，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜0時，令f'（x）=0得x=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，
∴f（x）在（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）上遞減，在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）上遞增；
（2）g（x）=|f（x）|-$\frac{2lnx+1}{x}$-b存在零點，
∴|f（x）|=$\frac{2lnx+1}{x}$+b有實數(shù)根，
當(dāng)a=-$\frac{1}{2e}$時，f（x）=-$\frac{1}{2e}$x²-1+lnx，
f'（x）=-$\frac{{x}^{2}-e}{ex}$m
當(dāng)0＜x＜$\sqrt{e}$時，f'（x）＞0，當(dāng)x＞$\sqrt{e}$時，f'（x）＜0，
∴f（x）在區(qū)間（0，$\sqrt{e}$）上遞增，在（$\sqrt{e}$，+∞）上遞減，
函數(shù)的最大值為f（$\sqrt{e}$）=-1，
∴|f（x）|≥1，
令h（x）=$\frac{2lnx+1}{x}$+b，h'（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜x＜$\sqrt{e}$時，h'（x）＞0，當(dāng)x＞$\sqrt{e}$時，h'（x）＜0，
∴h（x）的最大值為h（$\sqrt{e}$）=$\frac{2}{\sqrt{e}}$+b，
要使|f（x）|=$\frac{2lnx+1}{x}$+b有實數(shù)根，
∴h（$\sqrt{e}$）=$\frac{2}{\sqrt{e}}$+b，≥1，
∴b≥1-$\frac{2}{\sqrt{e}}$=1-$\frac{2\sqrt{e}}{e}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，難點是對問題的分析理解和轉(zhuǎn)化．