Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_1}{a_2}{a_3}…{a_n}={2^{n^2}}$（n∈N^*），且對(duì)任意n∈N^*都有$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}＜t$，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為$[\frac{2}{3}，+∞）$．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₁a₂a₃…a_n=2 n2（n∈N*），n=1時(shí)，a₁=2；n≥2時(shí)，a₁a₂a₃…a_n-1=2（n-1）2，可得a_n=2^2n-1．即$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$，利用等比數(shù)列的求和公式與放縮法即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足${a_1}{a_2}{a_3}…{a_n}={2^{n^2}}$（n∈N^*），
∴n=1時(shí)，a₁=2；n≥2時(shí)，a₁a₂a₃…a_n-1=${2}^{（n-1）^{2}}$，可得a_n=2^2n-1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公比為 $\frac{1}{4}$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）＜$\frac{2}{3}$．
∵對(duì)任意n∈N*都有$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}＜t$，則t的取值范圍為[$\frac{2}{3}$，+∞）．
故答案為：$[\frac{2}{3}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的求和公式、放縮法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．