分析 (1)在AD上取AN=$\frac{1}{3}$AD,過N作NG∥DC,交AE于G,連結(jié)FG,F(xiàn)N,利用平面與平面平行的判定定理證明平面FNG∥平面PCD,推出FG∥平面PCD.
(2)作PO⊥AB于O,BA所在直線為x軸,OP所在直線為z軸,在平面ABCD內(nèi)作AB的垂線為y軸,求出平面PAB的法向量,平面PMQ的法向量,利用平面PAB與平面PMQ所成銳二面角的大小為30°,求解得λ推出CD的大小.
解答 解:(1)在AD上取AN=$\frac{1}{3}$AD,過N作NG∥DC,交AE于G,連結(jié)FG,F(xiàn)N,
∵PF=2FA.可得FA=$\frac{1}{3}$PA,所以FN∥PD,又NG∥DC,F(xiàn)N∩NG=N,PD∩DC=D,
可得平面FNG∥平面PCD,F(xiàn)G?平面FNG,所以FG∥平面PCD.
(2)作PO⊥AB于O,BA所在直線為x軸,OP所在直線為z軸,在平面ABCD內(nèi)作AB的垂線為y軸,如圖:平面PAB的法向量為:$\overrightarrow{n}$=(0,1,0),
A(1,0,0),Q(λ,2,0),M(1,1,0),P(0,0,$\sqrt{3}$),
則$\overrightarrow{MP}$=(-1,-1,$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{MQ}$=(λ-1,1,0),
設(shè)平面PMQ的法向量為:$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MQ}=0}\end{array}\right.$,可得:$\left\{\begin{array}{l}{-x-y+\sqrt{3}z=0}\\{(λ-1)x+y=0}\end{array}\right.$,令x=1,則y=1-λ,z=$\frac{2-λ}{\sqrt{3}}$,
平面PAB與平面PMQ所成銳二面角的大小為30°,
可得:cos30°=$|\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}|$=$\frac{|1-λ|}{\sqrt{1+(1-λ)^{2}+(\frac{2-λ}{\sqrt{3}})^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
解得λ=3.
此時DQ=2在CD的延長線上,或DQ=$\frac{1}{3}$在CD線段上.
點評 本題考查直線與平面平行的判定定理以及二面角的平面角的求法,考查空間想象能力以及計算能力.
科目:高中數(shù)學 來源:2017屆湖南衡陽縣四中高三9月月考數(shù)學(文)試卷(解析版) 題型:填空題
下列各小題中,是的充分必要條件的是___________.
①或有兩個不同的零點;
②是偶函數(shù);
③;
④;
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A. | $\frac{8π}{3}$ | B. | $\frac{5π}{3}$ | C. | $\frac{4π}{3}$ | D. | $\frac{2π}{3}$ |
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A. | 4 | B. | 7 | C. | 6 | D. | 5 |
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A. | $\frac{5}{12}$ | B. | $-\frac{5}{12}$ | C. | $-\frac{12}{5}$ | D. | $\frac{12}{5}$ |
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